Picard 模群的 $\mathbb C$-Fuchsian 子群分类

给定 $\mathbb Q$ 的一个虚二次扩张 $K$，我们对 Picard 模群 $\operatorname{PSU}_{1,2}(\mathcal O_K)$ 中保持复双曲平面 $\mathbb H^2_\mathbb C$ 内复测地线的极大非初等子群进行了分类。作为对 Holzapfel、Chinburg-Stover 和 M"oller-Toledo 工作的补充，我们证明了这些极大 $\mathbb C$-Fuchsian 子群是算术的，源于四元数代数 $\Big(\!\begin{array}{c} D\,,D_K\\hline\mathbb QQ\end{array} \!\Big)$，其中 $D\in\mathbb N-\{0\}$ 为某个 explicit 值，$D_K$ 为 $K$ 的判别式。因此，我们证明了在 $\mathbb P_2(\mathbb C)$ 的超球面中存在无穷多条 $K$-算术链的轨道。