$\mathbb{F}_2$ 上双线性 $(d\times d)$-型图的刻画

此处记为 $Bil_q(e\times d)$ 的双线性型图是定义在 $\mathbb{F}_q$ 上 $(e\times d)$-矩阵（$e\geq d$）集合上的图，两个矩阵相邻当且仅当它们差的秩等于 $1$。1999年，K. Metsch 证明了若满足以下条件之一，双线性型图 $Bil_q(e\times d)$ 可由其交集数组刻画：(-) $q=2$ 且 $e\geq d+4$，(-) $q\geq 3$ 且 $e\geq d+3$。因此，以下情况尚未解决：(-) $q=2$ 且 $e\in \{d,d+1,d+2,d+3\}$，(-) $q\geq 3$ 且 $e\in \{d,d+1,d+2\}$。本文中，我们证明了二元域上 $d\geq 3$ 的双线性 $(d\times d)$-型图可由其交集数组刻画。在此过程中，我们还对 $\mu$-图为六边形且交集数 $b_i,c_i$ 对所有 $i=0,1,2$ 良定义的局部网格图进行了分类。