线性微分系统约化形式的刻画

微分系统 $[A] : \; Y'=AY$（其中 $A\in \mathrm{Mat}(n, \bar{k})$）被称为处于约化形式，如果 $A\in \mathfrak{g}(\bar{k})$，其中 $\mathfrak{g}$ 是 $[A]$ 的微分 Galois 群 $G$ 的 Lie 代数。在本文中，我们给出了一个系统处于约化形式的构造性判据。当 $G$ 是约化的且是幺模的时，系统 $[A]$ 处于约化形式当且仅当其所有不变量（适当对称幂的有理解）具有常系数（而非有理函数）。当 $G$ 是非约化的时，我们通过 $G$ 的半不变量给出了类似的刻画。在约化情形下，我们提出了一种将系统化为约化形式的判定程序，这反过来给出了经典 Kolchin-Kovacic 约化定理的构造性证明。