有限性条件的范畴方法

我们引入了一个关于有限性条件的一般范畴框架，统一了诸如 Noetherian 性、Artinian 性以及各种形式的拓扑紧性等经典概念。这是通过相对于 \textbf{覆盖} $\tau$ 定义的 \textbf{$\tau$-紧性} 概念来实现的。范畴 $C$ 上的覆盖是一个指定的覆盖图表类，它们是具有指定变性的函子 $F\colon I \to C/c$，其中索引范畴 $I$ 配备了一组“指定小对象”。如果对象 $c$ 上的每个此类覆盖图表都在某个指定小对象处稳定，则该对象是 $\tau$-紧的。由于我们允许混合变性的函子，我们的框架同时对升链条件（如 Noetherian 性）和降链条件（如 Artinian 性、通过闭集的拓扑紧性）进行了建模。环境范畴的原模性在证明强闭包结果时显现为关键性质。在对覆盖施加适当兼容性假设的情况下，我们证明了在原模范畴中，$\tau$-紧对象类在商和扩张下是封闭的。在有点范畴语境下，这意味着在有限积下封闭，推广了 Noetherian 环上有限生成模本身也是 Noetherian 的经典定理。我们还利用原模性为 Noetherian 对象建立了范畴 Hopf 性质。我们的主要应用表明，在任何具有初始对象的正则原模范畴中，Noetherian 和 Artinian 对象类在子对象、正则商和扩张下是封闭的。作为推论，在任何 Abel 范畴中，这些对象类构成正合子范畴。