Duchet-Meyniel定理的一个基本初等推广

Hadwiger猜想蕴含图的Hadwiger数$h$与独立数$\alpha$之积至少为图的顶点数$n$。1982年，Duchet和Meyniel证明了该不等式的一个弱版本，将独立数$\alpha$替换为$2\alpha-1$，即$$(2\alpha-1)\cdot h \geq n.$$2005年，Kawarabayashi、Plummer和第二作者发表了该定理的一个改进，当$\alpha$至少为3时，将$2\alpha - 1$替换为$2\alpha - 3/2$。此后，Kawarabayashi和Song进一步改进，当$\alpha$至少为3时，将$2\alpha - 1$替换为$2\alpha - 2$。本文给出了Duchet-Meyniel定理的一个基本初等推广。这可能有助于在寻求更实质性的改进时避免处理基本情形。一个主要的未解决问题（归因于Seymour）是，在独立数$\alpha$等于2的情况下，即使只是轻微地改进Duchet-Meyniel定理。$\alpha = 2$时的Hadwiger猜想情形最早由Mader指出为一个有趣的特例。