熔化晶体模型的4维极限及其可积结构

本文探讨了5D SUSY $U(1)$ Yang-Mills理论在$\mathbb{R}^4\times S^1$上的熔化晶体模型的量子谱曲线和4D极限问题。由无穷多个外势形变的分区函数$Z(\mathbf{t})$是关于耦合常数$\mathbf{t} = (t_1,t_2,\ldots)$的KP层级的tau函数。$Z(\mathbf{t})$的单变量特化$Z(x)$满足表示熔化晶体模型量子谱曲线的$q$-差分方程。在$\mathbb{R}^4\times S^1$中$S^1$的半径$R$趋于$0$的极限下，它变为$Z(x)$的4D对应物$Z_{\mathrm{4D}}(X)$的差分方程。该差分方程重现了$\mathbb{CP}^1$的Gromov-Witten理论的量子谱曲线。$Z_{\mathrm{4D}}(X)$通过在$x$到$X$的依赖于$R$的变换$x = x(X,R)$下令$R \to 0$从$Z(x)$得到。对于$Z(\mathbf{t})$，可以用依赖于$R$的变换$\mathbf{t} = \mathbf{t}(\mathbf{T},R)$将$\mathbf{t}$变到$\mathbf{T} = (T_1,T_2,\ldots)$来表述类似的4D极限。这给出了$Z(\mathbf{t})$的4D对应物$Z_{\mathrm{4D}}(\mathbf{T})$。$Z_{\mathrm{4D}}(\mathbf{T})$与$\mathbb{CP}^1$的全亏格Gromov-Witten不变量生成函数一致。可由$Z(\mathbf{t})$满足的类似方程导出$Z_{\mathrm{4D}}(\mathbf{T})$的Fay型双线性方程。该双线性方程意味着$Z_{\mathrm{4D}}(\mathbf{T})$也是KP层级的tau函数。这些结果进一步扩展到通过离散变量$s \in \mathbb{Z}$的形变$Z(\mathbf{t},s)$和$Z_{\mathrm{4D}}(\mathbf{T},s)$，它们被证明是1D Toda层级的tau函数。