德恩引理的4维类比

我们研究了经典3维德恩引理的某些$4$维类比，给出了在光滑与拓扑范畴中此类类比成立或不成立的例子。特别地，我们证明：单连通$4$-流形$W$边界中的一个本质$2$-球面$S$，若$S$在$W$中零伦，则未必能延拓为$W$中球的嵌入。然而，若$W$是单连通的（或更一般地，具有阿贝尔基本群的$4$-流形）且边界为同调球面，则$S$在$W$中界定一个拓扑嵌入的球。此外，我们给出这样的$S$在$W$中不界定任何光滑嵌入球的例子。类似地，我们构造了不可压缩环面$T\subseteq \partial W$，其中$W$是可缩$4$-流形，使得$T$可延拓为$W$中实心环面的映射，但不能延拓为任何实心环面的嵌入。此外，我们构造了可缩$4$-流形$W$边界中的一个不可压缩环面$T$，使得$T$可延拓为$W$中实心环面的拓扑嵌入，但不存在光滑嵌入。作为关于环面结果的应用，我们解决了Gompf提出的一个问题，该问题涉及延拓某些3-流形的微分同胚族，他最近利用这些微分同胚族构造了无穷软木塞。