多重 $\chi_y$-亏格与椭圆亏格的 -1-现象

几篇独立的文章观察到 Hirzebruch $\chi_y$-亏格具有一个重要特征，作者称之为 -1-现象，即 $\chi_y$-亏格在 $y=-1$ 处的泰勒展开系数具有显式表达式。Hirzebruch 原始的 $\chi_y$-亏格可向两个方向扩展：多重情形和椭圆亏格情形。本文包含两部分，分别研究了这两种广义情形下的 -1-现象，并表明在每种情形下均在适当意义上存在 -1-现象。我们第一部分的主要结果有一个应用，指出流形上的所有示性数（Chern 数和 Pontrjagin 数）都可以非常显式地表示为某些椭圆算子指数的有理线性组合。这给出了示性数的解析解释，并肯定地回答了作者几年前提出的一个问题。第二部分包含我们将此 -1-现象推广到椭圆亏格（$\chi_y$-亏格的现代版本）的尝试。我们首先将几乎复流形的椭圆亏格扩展为涉及额外复向量丛的扭曲版本，并表明在某些假设下它是一个弱 Jacobi 型。通过对 Jacobi 型理论进行适当操作，可以从该弱 Jacobi 型产生新的模形式，从而获得与底层流形相关的许多算术信息，其中隐藏了原始 $\chi_y$-亏格的 -1-现象。