关于四项式可约性的一些观察

在最近的一篇论文 \cite{Jan} 中，Jankauskas 证明了关于形如 $f(4,x)$ 的四项式可约性的一些有趣结果，其中 $f(a,x)=x^{n}+x^{m}+x^{k}+a$。他还获得了一些 $a\in\Z$ 的可约四项式 $f(a,x)$ 的实例，使得 $f(a,x)$ 的所有不可约因式的次数均 $\geq 3$。本文对该问题采取了更系统的方法，探讨了 $a\in\Q$ 时 $f(a,x)$ 的可约性。特别是，通过计算某些亏格为二的曲线上的有理点集，我们在几种情况下刻画了所有次数 $\leq 6$ 且能被二次多项式整除的四项式 $f(a,x)$。我们还给出了更多 $a\in\Q$ 的可约 $f(a,x)$ 的实例，其所有不可约因式的次数均 $\geq 3$。