薛定谔型耦合常微分方程组的相位积分近似

本文描述了相位积分近似 (PIA) 针对薛定谔型 N 个常微分方程组 $u_j''(x) + \sum_{k = 1}^N R_{jk}(x) u_k(x) = 0$ ($j = 1, \dots, N$) 的四种推广形式。给出了适用于任意阶且矩阵 $R_{jk}$ 为厄米或非厄米情形的高阶修正递推关系。针对厄米且负定的 $R$ 矩阵，构建了保持 Wronskian 的 PIA 理论，该理论推广了 Fulling 关于正定 $R$ 矩阵的流守恒理论。将众所周知的单方程 $u''(x) + R(x) u(x) = 0$ 的 PIA 修正思想推广至方程组。提出了一种简化 Wronskian 或流守恒理论的方法，该方法在每一阶中消除了高阶修正公式中的一个积分。若 PIA 由 $R$ 矩阵的非简并本征值生成，则该被消除的积分是唯一存在的积分。在此情况下，简化后的理论变得完全算法化，并推广至非厄米 $R$ 矩阵。一般理论通过若干示例进行了说明，这些示例是利用作者在 arXiv:0710.5406 中发表的 Mathematica 程序自动生成的。