利用混合散射数据构造势函数

本文讨论了从混合散射数据构造势函数这一长期存在的问题。我们首先考虑固定-$\ell$ 逆散射问题。我们表明，Schr"odinger 方程正则解的零点 $r_{n}(E)$ 是能量的单调函数，当能量域使得 $r_{n}(E)$ 的范围从零到无穷大时，这些零点确定了一个唯一的势函数。后一种方法应用于域 $\{E \geq E_0, \ell=\ell_0 \} \cup \{E=E_0, \ell \geq \ell_0 \}$，在该域的两个部分中正则解的零点均为单调且范围仍从零到无穷大。我们的分析表明，只要满足固定 $\ell$ 问题所需的某些可积性条件，就可以从混合散射数据 $\{\delta(\ell_0,k), k \geq k_0 \} \cup \{\delta(\ell,k_0), \ell \geq \ell_0 \}$ 获得唯一的势函数。唯一性是利用 JWKB 近似证明的。