块复合函数的量子通信复杂度

通信复杂度中的一个主要开放问题是：在双方交互模型中，量子协议在处理_全_布尔函数时能否比经典协议具有指数级更高的效率？答案似乎是“否”。2002 年，Razborov 证明了这一猜想适用于迄今为止最广泛的一类函数 F(x, y) = f(x_1 * y_1, x_2 * y_2, ..., x_n * y_n)，其中 f 是 n 个布尔输入上的_对称_布尔函数，而 x_i, y_i 分别是 x 和 y 的第 i 位。他的优雅证明关键依赖于 f 的对称性。我们开发了一种不需要对称性的下界方法，并为更广泛的一类函数证明了该猜想。这些函数 F(x, y) 中的每一个都是通过我们所谓的“块复合”得到的，即由一个“构建块”g : {0, 1}^k by {0, 1}^k --> {0, 1} 与一个 f : {0, 1}^n -->{0, 1} 复合，使得 F(x, y) = f(g(x_1, y_1), g(x_2, y_2), ..., g(x_n, y_n))，其中 x_i 和 y_i 分别是 x 和 y 的第 i 个 k 位块。我们表明，只要 g 本身足够“难”，其与_任意_ f 的块复合在量子通信复杂度和经典通信复杂度之间具有多项式关系。我们的方法为 Razborov 的结果提供了另一种证明（尽管参数稍弱），并建立了新的量子下界。例如，当 g 为内积函数且 k=\Omega(\log n) 时，其与_任何_ f 的块复合的_确定性_通信复杂度渐近上界为其量子复杂度的 7 次幂。