二元线性形式的基的表示函数

设 $F(x_1,...,x_m) = u_1 x_1 + ... + u_m x_m$ 为具有非零互素整数系数 $u_1,..., u_m$ 的线性形式。对于任意整数集 $A$，令 $F(A) = \{F(a_1,...,a_m) : a_i \in A, i=1,...,m\}$。与形式 $F$ 相关的表示函数为 $R_{A,F}(n) = \text{card} \{(a_1,...,a_m) \in A^m: F(a_1,..., a_m) = n\}$。若集合 $\mathbb{Z}\setminus F(A)$ 的渐近密度为零，则称集合 $A$ 为关于 $F$ 对几乎所有整数的基。等价地，渐近基的表示函数是满足 $f^{-1}(0)$ 密度为零的函数 $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\}$。给定这样一个函数，基的反问题就是要构造一个表示函数为 $f$ 的集合 $A$。本文解决了二元线性形式的反问题。