函数空间的有理形式性

设 $X$ 为幂零空间，使得存在 $N\geq 1$ 满足 $H^N(X,\mathbb Q) \ne 0$ 且当 $n>N$ 时 $H^n(X,\mathbb Q)=0$。设 $Y$ 为 $m$-连通空间，其中 $m\geq N+1$ 且 $H^*(Y,\mathbb Q)$ 作为代数是有限生成的。我们假设有理 Hurewicz 同态 $\pi_{odd}(X)\otimes \mathbb Q\to H_{odd}(X,\mathbb Q)$ 的奇数部分非零。我们证明，如果从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射空间 $\mathcal F(X,Y)$ 是有理形式的，那么 $Y$ 具有 Eilenberg Mac Lane 空间有限乘积的有理同伦型。反之，我们给出了一个有理形式空间 $\mathcal F(S^2,Y)$ 的例子，其中 $Y$ 不与 Eilenberg Mac Lane 空间的乘积有理等价。