关于动力学比特序列

设 $X^{(k)}(t) = (X_1(t), \dots, X_k(t))$ 表示一个 $k$ 维独立同分布随机变量向量,每个分量以概率 $p$ 取值 $1$、以概率 $1-p$ 取值 $0$。作为以非负实数 $t$ 为指标的过程,$X^{(k)}(t)$ 按照 Benjamini、Haggstrom、Peres 与 Steif(2003)的构造方式,使其为以 $((1-p)\delta_0+p\delta_1)^k$ 为不变测度的强马尔可夫过程。我们对 "$X_1(t)+\dots+X_k(t)=k-\ell$ 对某个 $t\in F$ 成立" 的概率给出了精确估计,其中 $F\subset[0,1]$ 为非随机的紧集。我们在两种截然不同的情形下完成此估计:(i) $\ell$ 为常数的情形;(ii) $\ell=k/2$、$k$ 为偶数且 $p=q=1/2$ 的情形。我们证明:情形 (i) 中该概率由 $F$ 的 Kolmogorov 容量描述,情形 (ii) 中则由 Howroyd 的 $1/2$ 维盒维数轮廓描述。我们还给出了样本路径方面的推论,以及与容量之间的一个联系,从而回答了 Benjamini 等人(2003)提出的一个问题。