关于等重数形变的注记

虽然曲线等奇异族（equisingular family）的切空间可以由扭曲理想层（twisted ideal sheaf）的截面来描述，但如果我们仅规定奇异点应具有的重数，则情况不再如此。然而，借助等重数理想（equimultiplicity ideal），仍然可以计算切空间的维数。在本注记中，我们考虑族 $L_m=\{(C,p) \mid \text{mult}_p(C)=m\}$，其中 $C$ 位于光滑射影曲面 $S$ 上的某个线性系 $|L|$ 中，$m$ 为固定的正整数；我们计算了 $L_m$ 在点 $(C,p)$ 处的切空间维数，具体取决于 $p$ 是否为 $C$ 的单切奇异点。我们推导出，在任何情况下，$L_m$ 在 $(C,p)$ 处的期望维数均为 $\dim|L|+2-m*(m+1)/2$。该结果已被用于我们与 Luca Chiantini 合作的一些关于三点亏缺曲面的研究中。