代数扩张上的广义圆

本文研究了一族空间有理曲线，这些曲线由 Andradas、Recio 和 Sendra 以“超圆”之名引入，作为改进代数簇有理参数化（在可能时简化有理函数的系数）的算法基石工具。一个实圆可以定义为复域中实轴在莫比乌斯变换下的像。类似地，粗略地说，一个超圆可以定义为在一个 n 次有限代数扩张 $\mathbb{K}(\alpha)\thickapprox\mathbb{K}^n$ 中，一条直线（“${\mathbb{K}}$-轴”）在变换 $\frac{at+b}{ct+d}:\mathbb{K}(\alpha)\to\mathbb{K}(\alpha)$ 下的像。本文旨在将圆的一些特定性质推广到超圆的情形。我们证明，超圆正是通过 $\mathbb{K}$-射影变换得到的适当次数的有理正规曲线。我们还完整描述了这些曲线在无穷远处的点（推广了圆在无穷远处的循环结构）。我们将超圆刻画为次数等于环境仿射空间维数、且具有无穷多个通过这些无穷远点的 ${\mathbb{K}}$-有理点的曲线。此外，我们给出了超圆的参数化和隐式化的显式公式。除了这一非常特殊的曲线族的内在意义外，对其性质的理解对参数化简化问题有直接应用，如最后一节所示。