二染色数等于调和数的有向图之 Zykov 和

二色数与二染色数是对考虑无环着色的图之色数与无环色数的推广。本文中，我们确定了由满足 $k=\tfrac{1+\sqrt{1+4m}}{2}$（对某个合适的 $m$）的完整 $k$-着色的若干有向图的 Zykov 和所得到的图的二染色数。由此，该族中每个有向图的二染色数都等于其调和数。特别地，我们研究了若干圈的 Zykov 和的色数、二染色数和调和色数。