抽象同态图和模数曲线的zeta函数

我们引入了Serre图定义的一种“非可定向”变体，称为抽象同态图。这些对象捕捉了图 $G(p,\ell,H)$——具有 $H$ 级结构的 supersingular 椭圆曲线的 $\ell$-同态图的组合结构。特别是它们允许研究非回溯步、素数和zeta函数。我们证明了抽象同态图zeta函数的Ihara行列式公式的类比。对于 $B_1(N) \subseteq H \subseteq B_0(N)$ 且 $p > 3$，我们使用该公式将 $G(p,\ell,H)$ 的Ihara zeta函数与模数曲线 $X_{H, {\mathbb{F}_{\ell}}}$ 和 $X_{H \times B_0(p), \mathbb{F}_{\ell}}$ 的Hasse-Weil zeta函数相关联。作为应用，我们给出一个显式公式，将 $X_0(pN)_{\mathbb{F}_{\ell}}$ 和 $X_0(N)_{\mathbb{F}_{\ell}}$ 的点计数与 $G(p,\ell,B_0(N))$ 中的环计数关联，并证明 $G(p,\ell,B_0(N))$ 中长度为 $r$ 的非回溯环的数量与 $\ell^r$ 的渐近等价。