模空间上曲线的零维圈

尽管 Deligne-Mumford 稳定带标记曲线的模空间上 0 维圈的 Chow 群可能非常复杂，但 0 维 tautological 圈的生成空间秩恒为 1。给定的模点 [C,p_1,...,p_n] 是否决定一个 tautological 0-圈是一个微妙的问题。我们的主要结果针对有理曲面和 K3 曲面上的曲线回答了该问题。若 C 是反典则类正次数的非奇异有理曲面上的非奇异曲线，我们证明当标记数不超过稳定映射模空间的 Gromov-Witten 理论虚维数时，[C,p_1,...,p_n] 是 tautological 的。若 C 是 K3 曲面上的非奇异曲线，我们证明当标记数不超过 C 的亏格且每个标记都是 Beauville-Voisin 点时，[C,p_1,...,p_n] 是 tautological 的。后一结果建立了曲线模空间上秩 1 tautological 0-圈与 K3 曲面上秩 1 tautological 0-圈之间的联系。我们还证明了若干与曲线模空间上 tautological 0-圈相关的进一步结果。并讨论了关于其他曲面（Abel 曲面、Enriques 曲面、一般型曲面）上曲线模点的许多开放问题。