曲面上的 Yang-Mills 理论与 Atiyah-Segal 定理

本文阐述了如何利用 Yang-Mills 泛函的 Morse 理论来证明 Atiyah-Segal 定理对于曲面群的一个类比。经典地，Atiyah-Segal 定理将紧李群 $\Gamma$ 的表示环 $R(\Gamma)$ 与分类空间 $B\Gamma$ 的复 K-理论联系起来。对于无限离散群，必须考虑表示的形变，为此我们用 Carlsson 的形变 $K$--理论谱 $\K (\Gamma)$（即 $R(\Gamma)$ 的同伦论类比）取代表示环。我们的主要定理给出了同伦意义上的同构 $\K_*(\pi_1 \Sigma)\isom K^{-*}(\Sigma)$，适用于所有紧非正曲面 $\Sigma$ 及所有 $*>0$。结合 Tyler Lawson 的工作，该结果提供了关于曲面上平坦酉联络稳定模空间的同伦论信息。