WSLD 算子 II：空间 Riemann-Liouville 导数的新四阶差分近似

高阶离散化格式在分数阶算子中比在经典算子中扮演更重要的角色。这是因为对于经典导数，高阶离散化格式的模板通常比低阶的更宽；但对于分数阶算子，高阶格式和低阶格式的模板是相同的。因此，使用高阶格式求解分数阶方程会导致与一阶格式几乎相同的计算成本，但精度却大大提高。利用分数阶线性多步法，Lubich 获得了 $\alpha$-阶导数 ($\alpha>0$) 或积分 ($\alpha<0$) 的 $\nu$-阶 ($\nu\leq 6$) 近似 [Lubich, SIAM J. Math. Anal., 17, 704-719, 1986]，由于稳定性问题，获得的格式不能直接应用于时间依赖问题中 $\alpha \in(1,2)$ 的空间分数阶算子。通过对 Lubich 的二阶离散化格式进行加权和移位，我们在 [Chen & Deng, arXiv:1304.7425] 中推导了一系列有效的空间分数阶导数高阶离散化格式，在那里称为 WSLD 算子。作为先前工作的续篇，我们通过对 Lubich 的三阶和四阶离散化格式进行加权和移位，进一步提供了空间分数阶导数的新高阶格式。特别是，我们证明了获得的四阶近似对空间分数阶导数是有效的。相应的格式被用于求解具有变系数的空间分数阶扩散方程。