单调多边形中的见证集：精确与近似

给定简单多边形 $\mathscr{P}$，若两个点 $x$ 和 $y$ 之间的线段完全包含在 $\mathscr{P}$ 中，则它们相互可见。点 $x$ 的可见区域包括所有从 $x$ 可见的 $\mathscr{P}$ 中的点。若点集 $Q$ 位于多边形 $\mathscr{P}$ 内且每个点在 $\mathscr{P}$ 中最多仅从 $Q$ 中的一个点可见，则称 $Q$ 为 $\mathscr{P}$ 的见证集。寻找给定多边形中最大见证集的问题由 Amit 等人提出 [Int. J. Comput. Geom. Appl. 2010]。最近，Daescu 等人 [Comput. Geom. 2019] 给出了一个在单调山脉上解决该问题的线性时间算法。本研究贡献在于获得单调多边形中连续模型和离散模型下的最大见证集。在 {\sc Witness Set (WS)} 问题中，输入为多边形 $\mathscr{P}$，目标是在 $\mathscr{P}$ 中寻找最大见证集。在 {\sc Discrete Witness Set (DisWS)} 问题中，给定有限点集 $S$ 和 $\mathscr{P}$，任务是在 $S$ 中寻找见证集 $Q \subseteq S$ 以最大化 $|Q|$。我们研究 {\sc DisWS} 的简单多边形问题，但专注于 {\sc WS} 的单调多边形。我们的主要贡献如下：(1) 对于一般多边形的 {\sc DisWS} 的多项式时间算法；(2) 单调多边形 {\sc WS} 问题的离散化。具体而言，给定具有 $r$ 个倒角顶点的单调多边形和正整数 $k$，我们生成点集 $Q$，其大小为 $r^{O(k)} \cdot n$，且 $Q$ 包含大小为 $k$ 的见证集（若存在）。这导致单调多边形 {\sc WS} 问题的恰确算法，运行时间为 $r^{O(k)} \cdot n^{O(1)}$。我们还提供了一个运行时间为 $r^{O(1/\epsilon)} n^2$ 的 PTAS。