降低德劳内三角剖分计算代数复杂度的概率方法

在$\mathbb{R}^d$中计算德劳内三角剖分涉及评估所谓的in_sphere谓词，该谓词确定点$x$位于外接$d+1$个点$p_0,\ldots ,p_d$的球内部、球面上还是外部。该谓词归结为评估点$x, \, p_0,\, \ldots,\, p_d$坐标的$d+2$次多元多项式的符号。尽管精确几何计算取得了很大进展，但多项式的次数随$d$增加这一事实使得除了在非常低的维度外，评估此类多项式的符号都很成问题。在本文中，我们提出了一种基于见证复形（witness complex）的新方法，这是Carlsson和de Silva引入的德劳内复形的弱形式。见证复形$\mathrm{Wit} (L,W)$由某个度量空间$X$中的两个集合$L$和$W$定义：构建复形的有限点集$L$，以及作为$X$近似的见证点集$W$。de Silva的一个基本结果表明，如果$W=X=\mathbb{R}^d$，则$\mathrm{Wit}(L,W)=\mathrm{Del} (L)$。在本文中，我们给出了当$W$为有限集时确保见证复形与德劳内三角剖分一致的关于$L$的条件，并引入了一种新的扰动方案来计算接近于$L$的扰动集$L'$，使得$\mathrm{Del} (L')= \mathrm{wit} (L', W)$。我们的扰动算法是Lovász局部引理的Moser-Tardos构造性证明的几何应用。我们使用的唯一数值运算是（平方）距离比较（即2次谓词）。算法的时间复杂度在$|W|$中是次线性的。有趣的是，尽管该算法不计算任何单形质量的度量，但可以保证输出单形的厚度的下界。