平衡与非传递性 n 元骰子组的获胜概率

对于正整数 $n$，如果 $n$ 元骰子组 $(A_1,A_2,\dots,A_n)$ 满足 $P(A_1<A_2) = P(A_2<A_3) = \cdots = P(A_n<A_1)$，则称其为平衡的；如果 $P(A_1<A_2), P(A_2<A_3), \dots, P(A_n<A_1)$ 均大于 $\frac{1}{2}$，则称其为非传递性的。对于平衡且非传递性的 $n$ 元骰子组 $(A_1,A_2,\dots,A_n)$，我们定义其获胜概率为 $w(A_1,A_2,\dots,A_n) := P(A_1 < A_2)$。Trybula 和 Kim 等人的工作共同表明，对于平衡且非传递性的三元骰子组 $(A_1,A_2,A_3)$，其获胜概率的最小上界为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。Kim 等人随后提问，对于 $n \geq 4$ 的情况，获胜概率的最小上界是多少。Bogdanov 和 Komisarski 独立证明了，对于 $n\geq 3$ 及平衡且非传递性的 $n$ 元骰子组 $(A_1,A_2,\dots,A_n)$，其获胜概率小于 $\pi_n := 1-\frac{1}{4\cos^2\left( \frac{\pi}{n+2} \right)}$。在本文中，我们将证明，对于 $n \geq 3$ 及区间 $\left( \frac{1}{2}, \pi_n \right]$ 内的任意有理数 $p$，存在一个获胜概率为 $p$ 的平衡且非传递性的 $n$ 元骰子组。结合 Bogdanov 和 Komisarski 的结果，这完整回答了 Kim 等人提出的问题，并对非传递性和平衡的 $n$ 元骰子组的获胜概率给出了完整刻画。