骰子与势均力敌选举中的非传递性概率

我们研究骰子与投票模型中的非传递性现象。首先，我们延续近期关于 $n$ 面骰子的研究线索，其成对序由一骰投掷结果高于另一骰的概率相对于 $1/2$ 诱导。我们基于 Polymath 近期结果——即具有独立同分布面值、从 $\{1,\ldots,n\}$ 上均匀分布抽取并条件于面值均值等于 $(n+1)/2$ 的三枚骰子以渐近概率 $1/4$ 非传递——进行拓展。我们证明，若骰子面值从非均匀连续零均值分布抽取并条件于面值均值等于 $0$，则三枚骰子以高概率为传递的。我们还将结果推广至平稳高斯骰子，其面值例如可为具有 Hurst 指数 $H\in(0,1)$ 的分数布朗增量。其次，我们在 Condorcet 投票背景下提出一个类似模型。考虑 $n$ 名选民独立且均匀随机地对 $k$ 个备选方案排序。每两个备选方案间的胜者由基于偏好的多数投票决定。我们证明，在此模型中，若所有成对选举均接近平局，则获得 $k$ 个备选方案上任一竞赛图的渐近概率等于 $2^{-k(k-1)/2}$，这与无此条件模型的已知结果显著不同。我们还探讨了使用简单多数以外方法进行成对选举的 Condorcet 投票模型。我们针对一般函数考察了“接近平局”的一些自然定义，并举例说明在这些定义下竞赛图上的分布并不均匀。