大型选举出现平局的可能性有多大?

理解选举出现平局的可能性是社会选择、博弈论、政治科学与公共选择等诸多学科中的经典课题。尽管已有大量文献且普遍认为平局罕见,但对于大型选举中平局究竟有多罕见,除社会选择中称为无偏文化(IC)的选票独立同均匀分布下少数简单位置计分规则外,所知甚少。尤其自Marchant于2001年明确将IC下k路平局可能性作为开放问题提出后,进展甚微。我们在比独立同分布模型(尤其是IC)更一般且更现实的模型——受Spielman与Teng著名平滑复杂度分析启发的Xia平滑社会选择框架下,对该开放问题给出渐近回答,涵盖广泛研究的投票规则。我们证明了位置计分规则、基于边序规则及某些多轮基于分数的淘汰规则下平局平滑可能性的二分定理,其特例包含plurality、Borda、veto、maximin、Copeland、ranked pairs、Schulze、STV与Coombs等常用规则。我们亦通过合成数据与Preflib上真实排序数据的实验补充了理论结果。主要技术工具是对泊松多项分布变量落于多面体内的平滑可能性之改进的二分刻画,该刻画通过探究多面体的V-表示与矩阵表示间相互作用而得,或具独立意义。