某些指数随机图模型中的 Wilks 定理

本文关注两种指数随机图模型——$\beta$-模型和 Bradley-Terry 模型中的似然比统计量，其中无向图上的度序列和加权有向图上的出度序列分别是图上指数族分布中唯一的充分统计量。我们证明了针对某些固定维数和增长维数假设检验问题的 Wilks 型定理。具体而言，在两个固定维数零假设 $H_0: \beta_i=\beta_i^0$（$i=1,\ldots, r$）和 $H_0: \beta_1=\ldots=\beta_r$ 下，我们表明当全参数空间的维数 $n$ 趋于无穷大时，$2[\ell(\widehat{\boldsymbol{\beta}}) - \ell(\widehat{\boldsymbol{\beta}}^0)]$ 依分布收敛于自由度分别为 $r$ 和 $r-1$ 的卡方分布。此处，$\ell(\boldsymbol{\beta})$ 是参数 $\boldsymbol{\beta}$ 的对数似然函数，$\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ 是全参数空间下的最大似然估计 (MLE)，而 $\widehat{\boldsymbol{\beta}}^0$ 是零假设参数空间下的受限最大似然估计。对于两个增长维数的零假设 $H_0: \beta_i = \beta_i^0$（$i=1, \ldots, n$）和 $H_0: \beta_1=\ldots=\beta_r$（其中 $r/n \ge c$），我们表明归一化的对数似然比统计量 $(2[\ell(\widehat{\boldsymbol{\beta}}) - \ell(\boldsymbol{\beta}^0)] -n)/(2n)^{1/2}$ 和 $(2[\ell(\widehat{\boldsymbol{\beta}}) - \ell(\widehat{\boldsymbol{\beta}}^0)] -r)/(2r)^{1/2}$ 均依分布收敛于标准正态分布。模拟研究和在 NBA 数据中的应用阐明了这些理论结果。