高阶网络中的度异质性：超图 $\boldsymbol{\beta}$-模型的推断

用于随机图的 $\boldsymbol{\beta}$-模型常用来表示网络中具有度异质性的成对交互。超越成对交互，Stasi 等人（2014）引入了超图 $\boldsymbol{\beta}$-模型以刻画具有高阶（多路）交互网络中的度异质性。本文中，我们开启了对具有多层的超图 $\boldsymbol{\beta}$-模型的严格研究，其允许跨层存在不同大小的超边。首先，我们推导了最大似然（ML）估计的收敛速率并确立了其极小极大速率最优性。我们还推导了 ML 估计的极限分布，并构造了模型参数的渐近有效置信区间。接下来，我们考虑超图 $\boldsymbol{\beta}$-模型中的拟合优度问题。具体而言，我们建立了在原假设下似然比（LR）检验的渐近正态性，推导了其检测阈值以及在该阈值处的极限功效。有趣的是，LR 检验的检测阈值被证明是极小极大最优的，即所有检验在该阈值以下均渐近无效。理论结果在数值实验中得到进一步验证。除了为超图 $\boldsymbol{\beta}$-模型的估计与推断建立理论框架外，上述结果还填补了图 $\boldsymbol{\beta}$-模型文献中的若干空白，例如 ML 估计的极小极大最优性以及 LR 检验的非零性质，据我们所知，这些此前未被研究过。