$\mathbb{R}^n$ 中的野生高维 Cantor 栅栏,第一部分

设 $\mathcal C$ 为 Cantor 集。对每个 $n\geqslant 3$,我们构造一个嵌入 $A: \mathcal C \times \mathcal C \to \mathbb R^n$,使得对 $s\in\mathcal C$,$A(\mathcal C \times \{s\})$ 是两两环境不可比较的处处野生 Cantor 集(广义 Antoine 项链)。这作为本文证明的另一新结果的基础:对每个 $n\geqslant 3$ 以及任意可嵌入 $\mathbb R^{n-1}$ 的非空完备紧集 $X$,我们描述一个嵌入 $\mathbb A : X \times \mathcal C \to \mathbb R^n$,使得每个 $\mathbb A (X \times \mathcal \{s\} )$, $s\in \mathcal C$,包含相应的 $A (\mathcal C \times \{s\} )$,并且在补集 $\mathbb A (X \times \mathcal \{s\} )-A (\mathcal C \times \{s\} )$ 上“良好”;特别地,对 $s\in\mathcal C$,像 $\mathbb A ( X \times \{s\})$ 是 $X$ 的两两不相交的环境不可比较的拷贝。这推广并加强了 J.R.Stallings (1960)、R.B.Sher (1968) 和 B.L.Brechner-J.C.Mayer (1988) 的定理。