典型康托集的所有投影均为康托集

1994年，John Cobb提出如下问题：给定 $N>m>k>0$，是否存在 $\mathbb R^N$ 中的康托集，使其到每个 $m$ 平面的投影恰为 $k$ 维？此类集合在 $(N,m,k)=(2,1,1)$ 时由 L.Antoine（1924）给出，在 $(N,m,m)$ 时由 K.Borsuk（1947）给出。J.Cobb（1994）构造了 $(3,2,1)$ 情形的例子，O.Frolkina（2010, 2019）构造了 $(N,m,m-1)$ 以及另一种方式的 $(N,N-1,N-2)$ 的例子，S.Barov、J.J.Dijkstra 和 M.van der Meer（2012）构造了 $(N,N-1,k)$ 的例子。我们证明此类集合在如下意义下是例外的。令 $\mathcal C(\mathbb R^N)$ 为 $\mathbb R^N$ 中所有康托子集赋予 Hausdorff 度量所构成的集合。已知 $\mathcal C(\mathbb R^N)$ 是 Baire 空间。我们证明存在稠密的 $G_\delta$ 子集 $\mathcal P \subset \mathcal C(\mathbb R^N)$，使得对每个 $X\in \mathcal P$ 及每个非零线性子空间 $L \subset \mathbb R^N$，$X$ 到 $L$ 的正交投影均为康托集。这给出了同一论文（1994）中 J.Cobb 另一个问题的部分回答。