为什么 Jordan 代数在统计学中是自然的：二次回归蕴含 Wishart 分布

如果 $\mathbb{R}^n$ 中的二次型空间 $\mathcal{Q}$ 被分解为直和 $\mathcal{Q}_1\oplus...\oplus \mathcal{Q}_k$，且 $X$ 和 $Y$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的独立随机变量，假设存在实数 $a$ 使得 $E(X|X+Y)=a(X+Y)$，以及互不相同的实数 $b_1,...,b_k$ 使得对于 $\mathcal{Q}_i$ 中的任意 $q$ 满足 $E(q(X)|X+Y)=b_iq(X+Y)$。我们证明这种情况仅在 $k=2$、$\mathbb{R}^n$ 可被构造为欧几里得 Jordan 代数，且 $X$ 和 $Y$ 具有对应于该结构的 Wishart 分布时才会发生。