何种 DNR 可以是极小度

Khan 和 Miller 证明了对于每一个可计算的非减无界函数 $h\in \omega^\omega$（以下称序函数），若 $h$ 足够大，则存在一个极小度的 $DNR_h$。其中 $h$ 须满足对所有 $k>0$ 有 $\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)/(2^{k\cdot \prod_{m<n}h(m)})=\infty$。他们的核心论证是我们可以通过因子 $2^j$ 对树进行稀疏化，以使 $j$ 的图灵泛函分裂。我们将其结果改进，将该因子降至 $j$。从而我们证明对于每一个满足对所有 $k>0$ 有 $\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)/( \prod_{m<n}h(m))^k=\infty$ 的序函数 $h$，存在一个极小度的 $DNR_h$。我们回答了 Brendle、Brooke-Taylor、Ng 和 Nies 的一个问题，即证明存在 $G\in \omega^\omega$ 使得 $G$ 是弱贫集覆盖（weakly meager covering），$G$ 不计算任何 Schnorr 随机实数且 $G$ 不 Schnorr 覆盖 REC。