矩阵的 Tracy-Singh 积表示线性算子某一运算的时机

给定两个线性变换，其在某些基下的表示矩阵分别为 $A$ 和 $B$，一般而言，矩阵 $A$ 与 $B$ 的 Tracy-Singh 积是否对应于线性变换上的某一特定运算并不明确。尽管如此，不难证明在如下特例中：每个矩阵均为阶为 $n^2$（$n>1$）的方阵，并被分块为 $n^2$ 个阶为 $n$ 的方阵块，则它们的 Tracy-Singh 积 $A \boxtimes B$ 相似于 $A \otimes B$，且基变换矩阵为置换矩阵。在本注记中，我们证明，对于由杨-巴克斯特方程集合论解诱导的线性算子这一特殊情况，其表示矩阵的 Tracy-Singh 积正是从该集合论解直积所得线性算子的表示矩阵。