当 Kloosterman 和与 Hecke 特征值相遇

通过精细构造带有渐近性和 Kloosterman 和从 $\ell$-adic 上同调得出的等分布的二维 Selberg 筛法，以及算术级数中 Kloosterman 和的 Bombieri--Vinogradov 型均值定理，我们证明了对于任意给定的平凡旁类型的本原 Hecke--Maass 尖形式，第 $n$ 个 Hecke 算子的特征值在无穷多个具有至多 $100$ 个素因子的无平方因子 $n$ 上不与 Kloosterman 和 $\mathrm{Kl}(1,n)$ 重合。这给出了 Katz 关于 Kloosterman 和的模结构问题的一个部分否定回答。