「什么是物？」：拓扑斯理论在物理学基础中的应用

本文旨在概述构建物理学理论的一种全新方法的最初步骤。其动机源于在审视量子时空理论时所浮现的若干深层问题。在此过程中，我们为海德格尔永恒的命题「什么是物？」提供了一个新答案。我们的基本主张是：构建物理学理论等价于在某个拓扑斯中寻找一个附加于系统的特定形式语言的表示。经典物理学使用集合范畴的拓扑斯。其他理论涉及不同的拓扑斯。对于本文所讨论类型的理论，一个关键目标是用一个箭头 $\breve{A}_\phi:\Si_\phi\map\R_\phi$ 来表示任意物理量 $A$，其中 $\Si_\phi$ 和 $\R_\phi$ 是相应拓扑斯 $\tau_\phi$ 中的两个特殊对象（「态对象」和「量值对象」）。我们讨论了可以附加于系统 $S$ 的两种不同类型的语言。第一种 $\PL{S}$ 是命题语言；第二种 $\L{S}$ 是高阶类型语言。两种语言都提供具有直觉主义逻辑的演绎系统。借助 $\PL{S}$ 我们扩展并发展了（CJI 及其合作者早期的）关于拓扑斯理论与量子物理的若干工作。关键一步是一个我们称为「亲在化」的过程，通过该过程投影算子被映射为谱前层 $\Sig$ 的一个子对象——这是经典相空间的拓扑斯量子类比。所涉及的拓扑斯是 $\SetH{}$：即在量子希尔伯特空间 $\Hi$ 上有界算子代数的交换子代数范畴（偏序集）$\V{}$ 上的反变集值函子范畴。