通过等效 toric 几何的加权 Ehrhart 理论

我们给出对 full-dimensional 单位多面体 $P$ 的广义加权 Ehrhart 理论的 $K$ 论和几何解释，取决于给定的 $P$ 上的齐次多项式函数 $\varphi$，并以 Laurent 多项式权重 $f_Q(y)\in \mathbb{Z}[y^{\pm 1}]$ 关联到 $P$ 的面 $Q \preceq P$。为此目的，我们计算与 $P$ 相关的torus-等效混合 Hodge 模块 $\mathcal{M}$ 在射影 variety $X_P$ 上的等效 $K$ 论 Hodge-Chern 类。对于任意整数 $\ell$，我们引入一个等效 Hodge $\chi_y$-多项式 $\chi_y(X_P, \ell D_P; [\mathcal{M}])$，其中 $D_P$ 是由 facet presentation 定义的 $X_P$ 上的足够大的 Cartier divisor。Hodge-Chern 类的动机性质用于将等效 Hodge 多项式表达式为加权 character sum，符合广义加权 Ehrhart 理论。等效 Hodge 多项式被证明满足 reciprocity 和纯净度公式，符合等效混合 Hodge 模块的对偶性，并暗示广义加权 Ehrhart 多项式的类似性质。在 Stanley 的 $g$ -函数给定权重函数的等效 intersection cohomology 混合 Hodge 模块的特殊情况下，我们在几何上恢复了 Beck-Gunnells-Materov 最近的组合公式。更一般地，受 Kazhdan-Lusztig theory 类比的启发，我们在对应于等效混合 Hodge 模块对偶性的 free $\mathbb{Z}[y^{\pm 1}]$-module 上引入一个对偶内 involution，并证明以此对偶性表示的新 reciprocity 公式。这统一了并概括了 Brion-Vergne 在 Ehrhart 理论中的经典 reciprocity 公式以及上述更近期的 Beck-Gunnells-Materov 组合公式。