弱与强极值双二次型

我们研究 $n \times m$ 矩阵上的拟凸二次型，其对应于 $(n,m)$ 变量中的非负双二次型。我们利用 Buckley–Šivic 的先前工作（Linear Algebra Appl. 598, 2020），反驳了 Harutyunyan–Milton（Comm. Pure Appl. Math. 70(11), 2017）以及 Harutyunyan–Hovsepyan（Arch. Ration. Mech. Anal. 244, 2022）所陈述的一个猜想，即 $3\times 3$ 矩阵上拟凸二次型锥中的极值性只能源于其声学张量行列式的极值性。我们的主要结果是确立了 Harutyunyan–Milton（Comm. Pure Appl. Math. 70(11), 2017）的一个猜想：$3 \times 3$ 矩阵上的弱极值拟凸二次型是强极值的。我们的主要技术要素是 Kunert–Scheiderer 关于极值非负三元六次型工作的推广（Trans. Amer. Math. Soc. 370(6), 2018）。具体而言，我们证明一个非负三元六次型若不是平方，则其极值当且仅当其（复系数上的）簇是一条有理曲线且所有奇点均为实奇点。