Wasserstein 原型分析

原型分析是一种无监督机器学习方法，通过凸多面体来总结数据。在其原始表述中，对于固定的 k，该方法寻找一个具有 k 个顶点（称为原型点）的凸多面体，使得该多面体包含在数据的凸包内，且数据与多面体之间的均方欧氏距离最小。在本文中，我们考虑了一种基于 Wasserstein 度量的原型分析的替代表述，我们称之为 Wasserstein 原型分析 (WAA)。在一维情况下，WAA 存在唯一解；在二维情况下，只要数据分布相对于勒贝格测度绝对连续，我们就证明了解的存在性。我们讨论了将结果推广到更高维度和一般数据分布的障碍。然后，我们通过 Rényi 熵引入了该问题的适当正则化，这使我们能够在任意维度下获得一般数据分布下正则化问题的解的存在性。我们证明了正则化问题的一致性结果，确保如果数据是来自某概率测度的独立同分布样本，那么随着样本数量的增加，原型点序列的子序列几乎必然收敛到极限数据分布的原型点。最后，基于 Wasserstein 度量的半离散表述，我们开发并实现了一种针对二维问题的基于梯度的计算方法。我们的分析得到了详细计算实验的支持。