拟阵多面体的体积与切锥

De Loera 等人（2009）证明了当秩固定时，拟阵多面体的 Ehrhart 多项式可以在元素个数变化时于多项式时间内计算。证明这一结果的关键在于：当秩固定时，切锥的任意三角剖分中的单纯锥个数关于元素个数是多项式有界的。作者们猜测 Ehrhart 多项式是否能在基个数的多项式时间内计算，其中元素个数和秩均允许变化。本文证明，对于 n 个元素上秩为 r 的一致拟阵，其切锥的任意三角剖分中的单纯锥个数为 $\binom{n-2}{r-1}$。因此，若允许秩变化，单纯锥个数关于 n 指数增长。从而，Brion-Lawrence 类型的方法（如 Barvinok 算法）在秩随元素个数变化时不太可能高效计算 Ehrhart 多项式。为证明该结果，我们给出了一种三角剖分，其中极大单形与完全二部图 $K_{r,n-r}$ 的生成 thrackle 一一对应。