亏格二曲线上的向量丛、对偶与经典几何

设 $C$ 为一条亏格二的曲线。我们以 $SU_C(3)$ 表示 $C$ 上秩为 3 且行列式平凡的半稳定向量丛的模空间,以 $J^d$ 表示 $C$ 上次数为 $d$ 的线丛的簇。特别地, $J^1$ 有一个典范 theta 除子 $\Theta$。空间 $SU_C(3)$ 是 $P^8=|3\Theta|$ 的一个以 Coble 六次超曲面(即 Coble sextic)为分支的双层覆盖。在对偶 $\check{P}^8=|3\Theta|^*$ 中(其中嵌入了 $J^1$)存在唯一一个沿 $J^1$ 奇异的三次超曲面,即 Coble 三次曲面。我们证明这两个超曲面是对偶的,从而导出一个非交换 Torelli 结果。此外,通过考察这些超曲面的某些特殊线性截面,我们能在向量丛的背景下观察并重新解释代数几何的一些经典结果:Segre-Igusa 四次曲面与 Segre 三次曲面的对偶、15 条直线与 15 个点的对称构型、Weddle 四次曲面与 Kummer 曲面。