平面直径补全问题的变体

{\sc 平面直径补全}问题询问，给定一个平面图 $G$ 和一个正整数 $d$，$G$ 是否是直径至多为 $d$ 的平面图 $H$ 的生成子图。我们研究了该问题的两个变体，其中输入附带另一个参数 $k$。在称为 BPDC 的第一个变体中，$k$ 限制了要添加的边的总数上限；在称为 BFPDC 的第二个变体中，$k$ 限制了每个面额外添加的边数上限。我们证明这两个问题都是 {\sf NP}-完全的，第一个问题即使对于面度至多为 4 的 3-连通图成立，第二个问题即使当 $k=1$ 时对于面度至多为 5 的 3-连通图成立。在本文中，我们为这两个问题给出了运行步数为 $O(n^{3})+2^{2^{O((kd)^2\log d)}}\cdot n$ 的参数化算法。