基于 van der Corput 性质的 $\mathbb{F}_q[t]$ 中的 S\'ark\"ozy 定理

固定一个正素数 $q$，记 $\mathbb{F}_q[t]$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的多项式环。设 $A \subseteq \{f \in \mathbb{F}_q[t]\colon\text{deg}~ f \le N\}$，且其中不包含两个元素的差形如 $P-1$（$P$ 为不可约多项式）。在借鉴 Green 对素数平移情形下的 S\'ark\"ozy 定理方法的基础上利用 van der Corput 性质，我们证明了 $|A| \ll q^{(N+1)(11/12+o(1))}$，该结果改进了 L\^{e} 和 Spencer 原有的 $O\big(q^{(1-c/\log N)(N+1)}\big)$ 界。