赋值与广义置换多面体的 Hopf 幺半群

本文旨在证明赋值理论与 Hopf 理论在广义置换多面体类上是相容的。我们证明了这些多面体上的 Hopf 结构 $\mathbf{GP}^+$ 在取模容斥关系后，降为一个广义置换多面体的示性 Hopf 幺半群 $\mathbb{I}(\mathbf{GP}^+)$，且该幺半群同构于加权有序集划分的 Hopf 幺半群。这一商 Hopf 幺半群 $\mathbb{I}(\mathbf{GP}^+)$ 是余自由的。它是具有多项式特征的 Hopf 幺半群范畴中的终对象；这在一定程度上解释了广义置换多面体在 Hopf 幺半群理论中的普遍存在性。这一 Hopf 理论框架为广义置换多面体及其子族上许多新旧赋值提供了一个简单而统一的解释。例子包括：对于拟阵——Chern-Schwartz-MacPherson 循环、Eur 的体积多项式、Kazhdan-Lusztig 多项式、动 zeta 函数以及 Derksen-Fink 不变量；对于偏序集——序多项式、Poincaré 多项式与偏序集 Tutte 多项式；对于广义置换多面体——泛 Tutte 特征以及在置换多面体簇的 Chow 环中的相应类。我们得到了若干代数与组合推论；例如：$\mathbf{GP}^+$ 的赋值特征群的存在性，以及一个巢状多面体不可分解为更小巢状多面体的性质。