VAE-DNN：用于参数化偏微分方程的能耗高效可分部训练替代模型

我们提出一种用于求解前向和逆向参数化非线性偏微分方程的可分部训练替代模型。类似于其他几种替代和算子学习模型，所提方法采用编码器将高维输入 $y(\bm{x})$ 降维至低维潜空间 $\bm\mu_{\bm\phi_y}$。随后，使用全连接神经网络将 $\bm\mu_{\bm\phi_y}$ 映射到 PDE 解 $h(\bm{x},t)$ 的潜空间 $\bm\mu_{\bm\phi_h}$。最后，利用解码器重构 $h(\bm{x},t)$。我们模型的创新之处在于其能够独立训练三个组件。这种方法相较于 FNO 和 DeepONet 等领先算子学习模型，显著降低了训练所需的时间和能源。通过将编码器作为 $y(\bm{x})$ 的变分自编码器 (VAE) 进行训练，同时将解码器作为 $h(\bm{x},t)$ 的 VAE 进行训练，实现了可分离训练。我们称该模型为 VAE-DNN 模型。将 VAE-DNN 与 FNO 和 DeepONet 模型进行比较，用于求解控制不确定含水层地下水流动的非线性扩散方程的前向和逆向解。我们的发现表明，VAE-DNN 不仅在效率上优于 FNO 和 DeepONet，还在前向和逆向解的准确性方面表现更佳。