渐近反德西特黑洞几何中的真空极化

我们研究了在渐近反德西特黑洞几何下标量场的真空极化 $\langle\phi^2\rangle$。所采用的方法利用 WKB 分析展开和点分裂正则化，与渐近平直情况下的先前计算类似。按照标准程序，我们写出格林函数，通过点分裂对初始发散表达式进行正则化，再通过减去几何抵消项进行重整化，最后取重合极限。在明确展示发散项的抵消和格林函数的正则性之后，我们将结果表示为两部分之和。一部分可解析计算，结果用某些广义 ζ 函数表示，这些函数出现在黎曼球面上拉普拉斯算符泛函行列式的计算中。我们还描述了数值计算这些函数的系统方法。有趣的是，WKB 近似自然地将 $\langle\phi^2\rangle$ 组织为这类 ζ 函数的级数。我们在 WKB 展开的次领头阶明确展示了这一点。另一项代表 WKB 近似的「余项」，依赖于精确（数值）表达式与其 WKB 对应量之间的差。这需要通过数值近似来处理。一般结果被专门化到史瓦西-反德西特黑洞几何的情形。该方法足够高效，可以求解考虑量子场对渐近反德西特黑洞反作用的半经典爱因斯坦方程。