戴德金域商环的酉凯莱图

如果 $X$ 是一个有单位元的交换环，那么 $X$ 的酉凯莱图，记作 $G_X$，被定义为顶点集为 $X$ 且边集为 $\{\{a,b\}\colon a-b\in X^\times\}$ 的图。当 $R$ 是一个戴德金域且 $I$ 是 $R$ 的一个理想使得 $R/I$ 是有限且非平凡时，我们将 $G_{R/I}$ 称为一个\emph{广义欧拉函数图}。我们研究广义欧拉函数图作为图 $G_{\mathbb{Z}/(n)}$ 的推广，后者最近出现在文献中，有时被称为\emph{欧拉函数凯莱图}。我们首先将被称为 Schemmel 欧拉函数的算术函数推广到戴德金域，并利用其中一个推广为广义欧拉函数图中任意正整数 $m$ 阶团的数目提供了一个简单公式。特别地，我们证明了 $G_{\mathbb Z/(n)}$ 中 $m$ 阶团的数目为 $$\prod_{k=1}^m\frac{S_{k-1}(n)}{k},$$ 其中 $S_r$ 是第 $r^{\text{th}}$ 个 Schemmel 欧拉函数。然后，我们继续确定了广义欧拉函数图的许多性质，例如它们的团数、色数、色指数、团支配数，以及（在许多，但并非所有情况下）围长。我们还确定了广义欧拉函数图每个分支的直径。我们纠正了文献中出现的关于欧拉函数凯莱图的团支配数的一个错误断言，并提供了关于这些图的强支配数的第二个断言的反例。