热方程人工神经网络逼近的一致误差估计

近来，人工神经网络（ANNs）结合随机梯度下降优化方法已被用于近似计算可能相当高维的偏微分方程（PDEs）的解。最近，科学文献中也出现了若干严格的数学结果，考察了此类基于深度学习的 PDE 逼近算法的近似能力。科学文献中的这些数学结果部分证明了基于 ANN 的算法能够克服高维 PDE 数值逼近中的维数灾难。在科学文献的这些数学结果中，通常 PDE 解与逼近 ANN 之间的误差是在 $L^p$ 意义下相对于某个 $p \in [1,\infty)$ 和某个概率测度来度量的。然而，在许多应用中，以一致的 $L^\infty$ 意义控制误差也很重要。本文主要结果的关键贡献在于发展了在一致 $L^\infty$ 意义下获得 PDE 解与逼近 ANN 之间误差估计的技术。特别地，我们证明：在固定时间点 $T \in (0,\infty)$ 于区域 $[a,b]^d$ 中一致逼近热方程经典解的 ANN 的参数数量，在维数 $d \in \mathbb{N}$ 和逼近精度倒数 $\varepsilon > 0$ 上至多多项式增长。这表明当误差以一致 $L^\infty$ 范数度量时，ANNs 能够克服热方程数值逼近中的维数灾难。