Ungarian 马尔可夫链

我们引入与有限格 L 相关联的 Ungarian 马尔可夫链 ${\bf U}_L$。该马尔可夫链的状态为 L 的元素。当链处于状态 $x\in L$ 时，它转移到 $\{x\}\cup T$ 的交（meet），其中 T 是 x 所覆盖元素集合的一个随机子集。我们专注于估计 $\mathcal E(L)$，即从 L 的顶元素到达底元素所需的 ${\bf U}_L$ 期望步数。利用直接组合论证，我们对 L 为对称群 $S_n$ 上的弱序以及 L 为第 n 个 Tamari 格时给出了渐近估计。当 L 是分配格时，马尔可夫链 ${\bf U}_L$ 等价于一个被广泛研究的随机过程实例，即带几何权重的最后通过渗流（last-passage percolation）。我们的一个主要结果表明：若 L 是一个 trim 格，则 $\mathcal E(L)\leq\mathcal E(\text{spine}(L))$，其中 $\text{spine}(L)$ 是 L 的一个特定的分配子格，称为 L 的脊（spine）。将此格论定理与关于最后通过渗流的已知结果相结合，得到了当 L 为 trim 时证明 $\mathcal E(L)$ 上界的强有力方法。我们应用该方法获得了经典型 Cambrian 格的 Ungarian 马尔可夫链以及 $\nu$-Tamari 格的 Ungarian 马尔可夫链的期望步数的一致渐近上界。