两个二项式系数乘积和之间的一种奇异等式

我们将在本文中展示，对于所有非负整数 $n$ 和 $l$，以下等式成立：$$\sum_{i=0}^{l} {n-i \choose i}{l+i \choose 2i+1}=\sum_{i=0}^{l} {n-i \choose i-1}{l+i \choose 2i}.$$ 我们首先讨论 $l \leq n$ 的情况，此时两个和仅包含经典二项式系数。随后，我们将在一般框架下使用广义二项式系数进行考虑。